Materi 5 Teorema De Morgan
Teorema De Morgan
Teorema DeMorgan menggunakan dua set aturan atau hukum untuk menyelesaikan berbagai ekspresi aljabar Boolean dengan mengubah OR menjadi AND , dan AND menjadi OR.
Aljabar Boolean menggunakan seperangkat hukum dan aturan untuk mendefinisikan pengoperasian rangkaian logika digital dengan “0” dan “1” digunakan untuk mewakili kondisi input atau output digital. Aljabar Boolean menggunakan angka nol dan satu ini untuk membuat tabel kebenaran dan ekspresi matematika untuk menentukan operasi digital dari operasi logika AND , OR dan NOT (atau inversi) serta cara untuk mengekspresikan operasi logika lainnya seperti XOR (Exclusive-OR) fungsi.
Meskipun rangkaian hukum dan aturan George Boole memungkinkan kita menganalisis dan menyederhanakan rangkaian digital, ada dua hukum dalam rangkaiannya yang dikaitkan dengan Augustus DeMorgan (seorang matematikawan Inggris abad kesembilan belas) yang memandang operasi logis NAND dan NOR sebagai operasi NOT AND yang terpisah. dan fungsi NOT OR masing-masing.
Namun sebelum kita melihat Teori DeMorgan secara lebih rinci, mari kita ingat kembali operasi logika dasar di mana A dan B adalah variabel biner masukan logika (atau Boolean), dan yang nilainya hanya dapat berupa “ 0 ” atau “ 1 ” yang menghasilkan empat kemungkinan kombinasi masukan, 00 , 01 , 10 , dan 11 .
Tabel Kebenaran untuk Setiap Operasi Logika
| Variabel Masukan | Kondisi Keluaran | ||||||
| A | B | DAN | NAND | ATAU | JUGA BUKAN | ||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
Tabel berikut memberikan daftar fungsi logika umum dan notasi Boolean yang setara dengan “ . ” (titik) berarti operasi AND (perkalian), tanda “ + ” (tanda plus) berarti operasi OR (penjumlahan), dan komplemen atau invers suatu variabel ditandai dengan garis di atas variabel tersebut.
| Fungsi Logika | Notasi Boolean |
| DAN | AB |
| ATAU | A+B |
| BUKAN | A |
| NAND | A .B |
| JUGA BUKAN | A+B |
Teori DeMorgan
Teorema DeMorgan pada dasarnya adalah dua set aturan atau hukum yang dikembangkan dari ekspresi Boolean untuk AND , OR, dan NOT menggunakan dua variabel input, A dan B. Kedua aturan atau teorema ini memungkinkan variabel masukan dinegasikan dan diubah dari satu bentuk fungsi Boolean ke bentuk sebaliknya.
Teorema pertama DeMorgan menyatakan bahwa dua (atau lebih) variabel yang NOR´digabungkan sama dengan dua variabel yang dibalik (Complement) dan AND´ed, sedangkan teorema kedua menyatakan bahwa dua (atau lebih) variabel yang digabungkan NAND´ed adalah sama sebagai dua suku terbalik (Pelengkap) dan OR´ed. Yaitu mengganti semua operator OR dengan operator AND, atau semua operator AND dengan operator OR.
Teorema Pertama DeMorgan
Teorema Pertama DeMorgan membuktikan bahwa ketika dua (atau lebih) variabel masukan di -AND dan dinegasikan, maka keduanya setara dengan OR dari komplemen masing-masing variabel. Jadi ekuivalen fungsi NAND akan menjadi fungsi OR negatif, yang membuktikan bahwa AB = A + B . Kami dapat menunjukkan operasi ini menggunakan tabel berikut.
Memverifikasi Teorema Pertama DeMorgan menggunakan Tabel Kebenaran
| masukan | Keluaran Tabel Kebenaran Untuk Setiap Suku | ||||||
| B | A | AB | AB | A | B | A + B | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
Kita juga dapat menunjukkan bahwa AB = A + B menggunakan gerbang logika seperti yang ditunjukkan.
Implementasi Hukum Pertama DeMorgan menggunakan Gerbang Logika
Susunan gerbang logika teratas dari: AB dapat diimplementasikan menggunakan gerbang NAND standar dengan input A dan B . Susunan gerbang logika yang lebih rendah pertama-tama membalikkan dua masukan yang menghasilkan A dan B. Ini kemudian menjadi masukan ke gerbang OR . Oleh karena itu keluaran dari gerbang OR menjadi: A + B
Kemudian kita dapat melihat di sini bahwa fungsi gerbang OR standar dengan inverter (gerbang NOT) pada setiap inputnya setara dengan fungsi gerbang NAND . Jadi gerbang NAND individual dapat direpresentasikan dengan cara ini karena kesetaraan gerbang NAND adalah OR negatif.
Teorema Kedua DeMorgan
Teorema Kedua DeMorgan membuktikan bahwa ketika dua (atau lebih) variabel masukan diOR dan dinegasikan, maka keduanya setara dengan AND dari komplemen masing-masing variabel. Jadi persamaan fungsi NOR adalah fungsi AND negatif yang membuktikan bahwa A+B = A . B , dan sekali lagi kita dapat menampilkan operasi ini menggunakan tabel kebenaran berikut.
Memverifikasi Teorema Kedua DeMorgan menggunakan Tabel Kebenaran
| masukan | Keluaran Tabel Kebenaran Untuk Setiap Suku | ||||||
| B | A | A+B | A+B | A | B | A . B | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
Kita juga dapat menunjukkan bahwa A+B = A . B menggunakan contoh gerbang logika berikut.
Implementasi Hukum Kedua DeMorgan menggunakan Gerbang Logika
Susunan gerbang logika teratas: A+B dapat diimplementasikan menggunakan fungsi gerbang NOR standar dengan menggunakan input A dan B . Susunan gerbang logika yang lebih rendah pertama-tama membalikkan kedua masukan, sehingga menghasilkan A dan B. Sehingga kemudian menjadi masukan ke gerbang AND . Oleh karena itu keluaran dari gerbang AND menjadi: A . B
Kemudian kita dapat melihat bahwa fungsi gerbang AND standar dengan inverter (gerbang NOT) pada masing-masing masukannya menghasilkan kondisi keluaran yang setara dengan fungsi gerbang NOR standar, dan gerbang NOR individual dapat direpresentasikan dengan cara ini sebagai kesetaraan dari sebuah NOR. gerbang adalah negatif-DAN.
Meskipun kita telah menggunakan teorema DeMorgan hanya dengan dua variabel masukan A dan B , teorema tersebut sama-sama valid untuk digunakan dengan tiga, empat atau lebih ekspresi variabel masukan, misalnya:
Untuk input 3 variabel
ABC = SEBUAH + B + C
dan juga
A+B+C = SEBUAH . B . C
Untuk input 4 variabel
ABCD = A + B + C + D
dan juga
A+B+C+D = SEBUAH . B . C . D
dan seterusnya.
Gerbang Setara DeMorgan
Kita telah melihat di sini bahwa dengan menggunakan Teorema DeMorgan kita dapat mengganti semua operator AND ( . ) dengan OR ( + ) dan sebaliknya, dan kemudian melengkapi setiap suku atau variabel dalam ekspresi dengan membalikkannya, yaitu 0 menjadi 1 dan 1 ke 0 sebelum membalikkan seluruh fungsi.
Jadi untuk mendapatkan persamaan DeMorgan untuk gerbang AND , NAND , OR atau NOR , kita cukup menambahkan inverter (gerbang NOT) ke semua input dan output dan mengubah simbol AND menjadi simbol OR atau mengubah simbol OR menjadi simbol AND sebagai ditunjukkan pada tabel berikut.
Gerbang Setara DeMorgan
| Gerbang Logika Standar | Gerbang Setara DeMorgan |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Kemudian kita telah melihat dalam tutorial tentang DeMorgan's Thereom bahwa komplemen dari dua (atau lebih) variabel input yang diberi AND setara dengan OR dari komplemen dari variabel-variabel ini, dan bahwa komplemen dari dua (atau lebih) variabel yang diberi OR setara dengan AND dari komplemen variabel seperti yang didefinisikan oleh DeMorgan .
Back link OLU UHAMKA :
https://onlinelearning.uhamka.ac.id/
Komentar
Posting Komentar